Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是A₁B，A₁C的中點，點D在B₁C₁上且A₁D⊥B₁C₁．
求證：（1）EF∥平面A₁B₁C₁；
（2）平面A₁ED⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

解：（1）∵△A₁BC中，E，F(xiàn)分別是A₁B，A₁C的中點，
∴EF∥BC，結合BC∥B₁C₁，
∴EF∥B₁C₁．…（3分）
又∵EF?平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁
∴EF∥平面A₁B₁C₁．…（6分）
（2）∵AA₁⊥平面ABC，CC₁∥AA₁，
∴CC₁⊥平面ABC．
∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥平面A₁B₁C₁．
又∵A₁D?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁D．…（8分）
又∵A₁D⊥B₁C₁，CC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁D⊥平面BB₁C₁C．…（10分）
∵A₁D?平面A₁ED
∴平面A₁ED⊥平面BB₁C₁C．…（12分）
分析：（1）在△A₁BC中，利用中位線可得EF∥BC，結合平行線的傳遞性，得EF∥B₁C₁．最后根據(jù)線面平行的判定定理，可得EF∥平面A₁B₁C₁；
（2）根據(jù)AA₁⊥平面ABC，結合線面垂直的性質和面面平行的性質，得到CC₁⊥平面A₁B₁C₁，從而CC₁垂直于平面A₁B₁C₁內(nèi)的直線A₁D，再結合已知條件A₁D⊥B₁C₁，根據(jù)線面垂直的判定定理，得到A₁D⊥平面BB₁C₁C，最后根據(jù)面面垂直的判定定理，得到平面A₁ED⊥平面BB₁C₁C．
點評：本題借助于棱柱模型，通過證明線面平行與面面垂直，著重考查了空間直線與平面的平行與垂直、平面與平面的平行與垂直等知識點，屬于基礎題．