Question

已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax²+2x-3-a.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-1,1］上有零點(diǎn),求a的取值范圍.

(文)已知函數(shù)f(x)=x²+x-1,α、β是方程f(x)=0的兩個(gè)根(α＞β),f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù).設(shè)a₁=1,a_n+1=a_n(n=1,2,…).

(1)求α、β的值;

(2)已知對(duì)任意的正整數(shù)n有a_n＞α,記b_n=ln(n=1,2,…),求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n.

Answer 1

答案：分析:本小題主要考查二次函數(shù)及其性質(zhì)、一元二次方程、函數(shù)應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí).

解：解法一:若a=0,則函數(shù)f(x)=2x-3在區(qū)間[-1,1]上沒(méi)有零點(diǎn).下面就a≠0時(shí)分三種情況討論:

(1)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有重根,此時(shí)Δ=4(2a²+6a+1)=0,解得a=.當(dāng)a=時(shí),f(x)=0的重根x=∈[-1,1];當(dāng)a=時(shí),f(x)=0的重根x=[-1,1].

故當(dāng)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有重根時(shí),a=.

(2)f(x)在區(qū)間[-1,1]上只有一個(gè)零點(diǎn)且不是f(x)=0的重根.此時(shí)有f(-1)f(1)≤0.∵f(-1)=a-5,f(1)=a-1,∴(a-5)(a-1)≤01≤a≤5.∵當(dāng)a=5時(shí),方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)相異實(shí)根,故當(dāng)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上只有一個(gè)根且不是重根時(shí),1≤a＜5.

(3)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)相異實(shí)根.∵函數(shù)f(x)=2a-(x+)²--a-3,

其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-,a應(yīng)滿足:

(1)或(2)

解不等式組(1)得a≥5.解不等式組(2)得a＜.

故當(dāng)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí),a∈(-∞,)∪[5,+∞).

綜上所述,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),則a的取值范圍是(-∞,]∪[1,+∞).

解法二:若a=0,則函數(shù)f(x)=2x-3在區(qū)間[-1,1]上沒(méi)有零點(diǎn).

下面討論a≠0時(shí)的情況:

(1)若f(-1)f(1)≤0,則f(x)必在[-1,1]上有零點(diǎn).∵f(-1)=a-5,f(1)=a-1,∴(a-5)(a-1)≤01≤a≤5,即1≤a≤5時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn).

(2)若f(-1)f(1)＞0,下面分兩種情況討論:

①當(dāng)f(-1)=a-5＞0,f(1)=a-1＞0,即a＞5時(shí),

有|-|＜1,拋物線y=f(x)的對(duì)稱(chēng)軸x=-必在直線x=-1和x=1之間,且f(-)=--3-a＜0,于是f(-1)f(-)＜0,f(1)f(-)＜0.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,-)和(-,1)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).

故當(dāng)a＞5時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn).

②當(dāng)f(-1)=a-5＜0,f(1)=a-1＜0,即a＜1時(shí),

(ⅰ)當(dāng)0＜a＜1時(shí),f(x)=0的兩根x₁,2=.

由于1+6a+2a²-(1+2a)²=2a(1-a)＞0,∴＞1+2a.

于是x₁=＞1,x₂=＜-1.

故當(dāng)0＜a＜1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上沒(méi)有零點(diǎn).

(ⅱ)當(dāng)a＜0時(shí),若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),則f(x)的最大值f(-)≥0.否則由于f(-)是最大值,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上沒(méi)有零點(diǎn).此時(shí)拋物線y=f(x)的對(duì)稱(chēng)軸x=-在直線x=-1和x=1之間,即a滿足解之,得a≤,

即當(dāng)a≤時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn).

綜上所述,若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),則a的取值范圍是(-∞,]∪[1,+∞).

(文)分析:本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、一元二次方程、對(duì)數(shù)、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.

解：(1)由x²+x-1=0解得方程的兩根為x₁,2=.

又∵α、β是方程的兩個(gè)根,且α＞β,∴α=,β=.

(2)∵f′(x)=2x+1,∴a_n+1=a_n-.

∵a_n＞α＞β(n=1,2,3,…),且a₁=1,∴b₁=ln=ln=lnβ⁴=4ln.

〔或b₁=ln=ln=ln=4ln〕

b_n+1=ln

=2b_n,即{b_n}是以b₁為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.故數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)之和為S_n==(2ⁿ-1)·4ln=(2ⁿ⁺²-4)ln.