Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx，（ω＞0，a＞0，b＞0）周期為，f（x）最大值為2
（1）寫出f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的單增區(qū)間．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx=sin（ωx+∅），其中tan∅=，
由周期等于π可得 =π，由此求得ω=2．
再由最大值為 =2，以及 =a，解得 ，
∴函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．
（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
故在區(qū)間上的單增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
分析：（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，由周期求出ω，由函數(shù)的最大值為 =2，以及 =a，求得a、b的值，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．再由x∈，進(jìn)一步確定函數(shù)的增區(qū)間．
點(diǎn)評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，輔助角公式的應(yīng)用，求復(fù)合三角函數(shù)的周期性和增區(qū)間，屬于中檔題．