(1)對于定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),滿足xf′(x)+2f(x)<0,求證:函數(shù)y=x2f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
(2)請你認真研讀(1)中命題并聯(lián)系以下命題:若f(x)是定義在(0,+∞)上的可導函數(shù),滿足xf′(x)+f(x)<0,則y=xf(x)是(0,+∞)上的減函數(shù).然后填空建立一個普遍化的命題:設f(x)是定義在(0,+∞)上的可導函數(shù),n∈N+,若
x
x
×f′(x)+n×f(x)<0,則
y=xnf(x)
y=xnf(x)
是(0,+∞)上的減函數(shù).
注:命題的普遍化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合;或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮包含該較小集合的更大集合.
(3)證明(2)中建立的普遍化命題.
分析:(1)當x>0時,用x乘以xf′(x)+2f(x)<0,得[x2f(x)]′<0,即得證;
(2)考查類比推理,若x×f′(x)+n×f(x)<0,則y=xnf(x)是(0,+∞)上的減函數(shù);
(3)利用導數(shù)來證明函數(shù)的單調(diào)性.
解答:(1)證明:當x>0時,用x乘以xf′(x)+2f(x)<0,得[x2f(x)]′<0,
所以,函數(shù)y=x2f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);…(4分)
(2)類比(1)可知,設f(x)是定義在(0,+∞)上的可導函數(shù),n∈N+
若x×f′(x)+n×f(x)<0,則y=xnf(x)是(0,+∞)上的減函數(shù);….(4分)
(3)證明:由于f(x)是定義在(0,+∞)上的可導函數(shù),n∈N+,
則xn-1>0,
若x×f′(x)+n×f(x)<0,則xn-1[x×f′(x)+n×f(x)]=[xnf(x)]′<0,
所以y=xnf(x)是(0,+∞)上的減函數(shù).…(4分)
點評:主要考查函數(shù)求導法則及函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x+1)是定義在R上的奇函數(shù),若對于任意給定的不等實數(shù)x1、x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,則不等式f(1-x)<0的解集為
(-∞,0)
(-∞,0)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在(0,1)的函數(shù)f(x),對于任意x1,x2∈(0,1)(x1≠x2),恒有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
.若A、B為銳角三角形ABC的兩內(nèi)角,則有( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•長寧區(qū)二模)對于定義在R上的函數(shù)f(x),有下述命題:
①若f(x)是奇函數(shù),則f(x-1)的圖象關于點A(1,0)對稱;
②若函數(shù)f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱,則f(x)為偶函數(shù);
③若對x∈R,有f(x-1)=-f(x),則2是f(x)的一個周期;
④函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關于直線x=1對稱.
其中正確的命題是
①②③④
①②③④
.(寫出所有正確命題的序號)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax-a+1(a>0且a≠1),恒過定點(2,2).
(1)求實數(shù)a;
(2)在(1)的條件下,將函數(shù)f(x)的圖象向下平移1個單位,再向左平移a個單位后得到函數(shù)g(x),設函數(shù)g(x)的反函數(shù)為h(x),直接寫出h(x)的解析式;
(3)對于定義在(0,4)上的函數(shù)y=h(x),若在其定義域內(nèi),不等式[h(x)+2]2>h(x)m-1恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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