已知函數(shù)f（x）=kxlnx，k∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當函數(shù)的最大值為時，求k的值．
【答案】分析：（1）確定函數(shù)定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求導(dǎo)函數(shù)g′（x）=，令u（x）=lnx+x-xlnx，求導(dǎo)函數(shù)u′（x）=-lnx，可得x∈[e，3]時，lnx+x-xlnx＞0，對k討論，利用函數(shù)g（x）的最大值為，即可求得k的值．
解答：解：（1）由題意知函數(shù)定義域為（0，+∞），f′（x）=k（1+lnx）；
當k=0時，f（x）=0，所以函數(shù)無單調(diào)區(qū)間；
當k＞0時，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，則x＞，所以函數(shù)f（x）在（0，]上單調(diào)遞減，在[，+∞）上單調(diào)遞增；
當k＜0時，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，則0＜x＜，所以函數(shù)f（x）在（0，]上單調(diào)遞增，在[，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）因為，所以g′（x）=
令u（x）=lnx+x-xlnx，所以u′（x）=-lnx
∵x∈[e，3]，∴l(xiāng)nx≥1，，∴u′（x）＜0，即u（x）為減函數(shù)，可得u（x）min=u（3）=3-3ln3=ln＞0
∴x∈[e，3]時，lnx+x-xlnx＞0
當k＞0時，g′（x）＞0，可得g（x）在x∈[e，3]時為增函數(shù)，g（x）max=g（3）=，所以k=；
當k=0時，g（x）的最大值是0，不合題意；
當k＜0時，g′（x）＜0，g（x）在x∈[e，3]上為減函數(shù)，g（x）的最大值是0，不合題意
故當函數(shù)g（x）的最大值為時，k的值為．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設(shè)t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數(shù)b的取值范圍．．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k•a-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（1）求實數(shù)k，a的值；
（2）若函數(shù)g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）給出以下五個命題：
①命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函數(shù)f（x）=k•cosx的圖象經(jīng)過點P（
π
3
，1），則函數(shù)圖象上過點P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間（0，1）上存在零點．
⑤已知向量
a
=(1，-2)與向量
b
=(1，m)的夾角為銳角，那么實數(shù)m的取值范圍是（-∞，
1
2
）
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設(shè)t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，試將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數(shù)b的取值范圍．．

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