Question

三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象如圖所示，直線BD∥AC，且直線BD與函數(shù)圖象切于點(diǎn)B，交于點(diǎn)D，直線AC與函數(shù)圖象切于點(diǎn)C，交于點(diǎn)A．
（1）在x=1處取得極值-2，試用c表示a和b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)點(diǎn)A、B、C、D的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，x_D，求證：（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x）=3x²+2ax+b，由題知f′（1）=0，f（1）=-2代入即可求出a和b；然后令導(dǎo)函數(shù)=0求出駐點(diǎn)，分區(qū)間討論出函數(shù)的增減性區(qū)間；
（2）設(shè)出直線BD的解析式因?yàn)镈為交點(diǎn)，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入得到x_D+2x_B+a=0，同理有x_A+2x_C+a=0，有x_A+2x_C+a=0，由于AC平行于BD，因此f′（x_B）=f′（x_C），得到，分別求出得比值為1：2：1即可．
解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b，
依題意有
從而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），
令f′（x）=0有x=1或
由于f（x）在x=1處取得極值，
因此，得到c≠-31若，
即c＜-3，則當(dāng)x∈（-∞，1）或時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，
因此f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
若，即c＞-3，
則當(dāng)或x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，
因此f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）設(shè)直線BD的方程為y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B）因?yàn)镈點(diǎn)在直線上又在曲線上，
所以f（x_D）=f′（x_B）（x_D-x_B）+f（x_B）
即（x_D³+ax_D²+bx_D+c）-（x_B³+ax_B²+bx_B+c）=（3x_B²+2ax_B+b）（x_D-x_B）
得到：x_D²+x_Dx_B-2x_B²+ax_D-ax_B=0從而x_D+2x_B+a=0，
同理有x_A+2x_C+a=0，由于AC平行于BD，
因此f′（x_B）=f′（x_C），
得到
進(jìn)一步化簡可以得到，
從而x_A-x_B=x_C-x_D
又（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），
因此（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1
點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，研究函數(shù)單調(diào)性的能力，函數(shù)與方程的靈活運(yùn)用能力．