(1)求證:CD⊥平面ABB1A1;
(2)求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;
(3)求三棱錐B1—A1BC的體積;
(4)求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.
(1)證明:∵ABC—A1B1C1是直三棱柱,?
∴面ABC⊥面AA1B1B,交線為AB.?
又∵△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,?∴CA=CB.?
又D是AB的中點(diǎn),∴CD⊥AB.?
∴CD⊥平面AA1B1B.?
(2)解析:∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=.?
作DE⊥A1B于E,連結(jié)CE.?
由(1)知,CD⊥面AA1B1B,∴CE在面AA1B1B內(nèi)的射影是DE.?
由三垂線定理知CE⊥A1B,?∴∠CED?是二面角C-A1B-A的平面角.?
又∵D是AB中點(diǎn),?
∴DE=DB=.?
又CD=AB=,?
在Rt△CDE中,tan∠CED=,故二面角A-A1B-C的平面角的正切值為.?
(3)解析:由等積代換法得VB1—A1BC=VC—A1B1B?,∵AA1B1B是矩形,∴△AA1B的面積等于△A1B1B的面積.?
∴VC—A1B1B?=VC—AA1B?=·S△AA1B?·CD=.?
∴VB1—A1BC?=.?
(4)解析:設(shè)C1B與面A1BC所成的角為θ,點(diǎn)C1到平面A1BC的距離為d.?
∴d=C1B·sinθ.又由直三棱柱性質(zhì)得C1B=.?
C1到面A1BC的距離是以C1為頂點(diǎn),△A1BC為底面的三棱錐C1—A1BC的高,∴VC1—A1BC=VB—A1C1C .?
∴△A1C1C的面積是矩形AA1C1C的面積的一半.?
∴S△A1C1C?=.?
∵BC⊥AC,CC1⊥BC,?
∴BC⊥面AA1C1C.?
∴VB—A1C1C?=×S△A1C1C ×BC=.?
又在△A1BC中,A1B==2,A1C=,BC=1,BC⊥A1C.?
∴S△A1BC?=·A1C·BC?
=.?
∴VC1—A1BC?=.?
∴.?
∴d=.?
又d=C1Bsinθ,即sinθ=,?
∴sinθ=,?
即BC1與平面A1BC所成角的正弦值為.
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AB |
a |
AC |
b |
AA |
c |
DE |
1 |
2 |
a |
1 |
2 |
b |
1 |
2 |
a |
1 |
2 |
b |
a |
b |
c |
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(1)求證:AB1∥平面BC1D;
(2)求異面直線AB1與BC1所成的角;
(3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.
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