Question

下列命題是真命題的序號為：             

①定義域為R的函數(shù)，對都有，則為偶函數(shù)

②定義在R上的函數(shù)，若對，都有，則函數(shù)的圖像關(guān)于中心對稱

③函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)

③函數(shù)的圖形一定是對稱中心在圖像上的中心對稱圖形。

⑤若函數(shù)有兩不同極值點(diǎn)，若，且，則關(guān)于的方程的不同實根個數(shù)必有三個.

 

Answer 1

【答案】

③④⑤

【解析】

試題分析：：①若f（x-1）為偶函數(shù)，則f（-x-1）=f（x-1），所以①錯誤．

②因為為常數(shù)，為常數(shù)，所以y=f（x）的圖象關(guān)于（-2，1）中心對稱，所以②錯誤．③若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），即f（-x-3）=-f（x+1），所以f（-x+1）=f（-x-3），即f（x+1）=f（x-3），所以f（x+4）=f（x），所以函數(shù)的周期是4，所以f（x+1949）=f（x+1）為奇函數(shù)，所以③正確．④由f（x）=ax³+bx²+cx+d得f（x）-d=ax³+bx²+cx為奇函數(shù)，此時函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d關(guān)于（0，d）對稱，而（0，d）一定在函數(shù)f（x）圖象上，所以④正確．⑤導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax²+2bx+c，由題意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的兩根，從而關(guān)于f（x）的方程3a[f（x）]²+2b[f（x）]+c=0有兩個根，

f（x₁）=x₁，x₂＞x₁=f（x₁），如下示意圖象：如圖有三個交點(diǎn)，故有3個不同實根．所以⑤正確．故答案為：③④⑤

考點(diǎn)：1.函數(shù)奇偶性；2.函數(shù)對稱性.3.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)