Question

（重慶市2011屆高三下學期第二次聯(lián)合診斷性考試文科）已知函數(shù)
（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間：
（2）若函數(shù)的圖象過點（1，1）且極小值點在區(qū)間（1，2）內，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導函數(shù) f′（x），并將導函數(shù)分解因式變形為 f′（x）=（x-1）（ax-1），便于解不等式，再確定討論標準，由于解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，需比較a與0，1的大小，故確定分當a＞1，當a=1，當0＜a＜1，當a=0，當a＜0五種情況討論，最后分別在五種情況下解含參數(shù)的一元二次不等式即可得函數(shù)的單調區(qū)間
（2）先由函數(shù)的圖象過點（1，1），代入得b=，再結合（1）中的討論，若極小值點在區(qū)間（1，2）內，需，從而解得a的范圍，最后求一次函數(shù)b=的值域即可得b的范圍
解答：解：（1）∵f′（x）=ax²-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）
當a＞1時，0＜＜1，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜，由f′（x）＜0，得＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，），（1，+∞）；減區(qū)間為（，1）
當a=1時，∵f′（x）=（x-1）²≥0，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）
當0＜a＜1時，＞1，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞，由f′（x）＜0，得1＜x＜，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（，+∞），（-∞.1）；減區(qū)間為（1，）
當a=0時，f′（x）=（1-x），由f′（x）＞0，得x＜1，由f′（x）＜0，得x＞1，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，1）；減區(qū)間為（1，+∞）
當a＜0時，＜0，由f′（x）＞0，得＜x＜1，由f′（x）＜0，得x＞1或x＜，，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（，1）；減區(qū)間為（-∞，），（1，+∞）
綜上所述，當a＞1時函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，），（1，+∞）；減區(qū)間為（，1）
當a=1時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（，+∞），（-∞.1）；減區(qū)間為（1，）
當a=0時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，1）；減區(qū)間為（1，+∞）
當a＜0時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（，1）；減區(qū)間為（-∞，），（1，+∞）
（2）∵函數(shù)的圖象過點（1，1）
∴，∴b=
∵f（x）極小值點在區(qū)間（1，2）內，由（1）可知
∴＜a＜1
∴＜＜
∴＜b＜
點評：本題考察了利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間的方法，導數(shù)與函數(shù)極值的關系，分類討論的思想方法，熟練的解含參數(shù)的一元二次不等式是解決本題的關鍵