Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=a﹣ ．
（1）求證：函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)時，求函數(shù)f（x）在[﹣1，2]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于函數(shù)f（x）=a﹣ ，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=a﹣ ﹣a+ = ，

因?yàn)閤1＜x2，所以 ﹣ ＜0，而分母（1+ ）（1+ ）＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)

（2）解：因函數(shù)f（x）在x=0有意義，又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=a﹣ =0，∴a= ，f（x）= ﹣ ，

由（1）可知f（x）在[﹣1，2]是單調(diào)遞增的，易得 ， ，

即f（x）的值域是 ．

【解析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．（2）利用f（0）=0求得a的值，再根據(jù)f（x）在[﹣1，2]是單調(diào)遞增的，從而求得函數(shù)f（x）在[﹣1，2]上的值域．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．