Question

【題目】已知函數．

（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）在曲線上是否存在點P，使得過點P可作三條直線與曲線相切？若存在，求出其橫坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當時，，；當時，，；當時，，；（2）存在，.

【解析】

（1）求出導數，確定函數的單調性，然后按分類討論；

（2）假設存在符合條件的點，同時設切點為，由導數幾何意義得即（*），問題轉化為關于的方程（*）存在三個不同實根．然后用導數研究函數的零點．

（1）由題意得：

當時，；

當時，；

當時，．

即在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增

又的零點分別為，0，

所以當時，，；

當時，，；

當時，，．

（2）假設存在符合條件的點，切點設為

所以即（*）

故問題轉化為關于的方程（*）存在三個不同實根．

令，則

當時，，在R上單調遞增，不合題意；

當時，易知在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增

從而，即

解得：

當時，易知在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增

從而，即

解得：

綜上，存在符合條件的點P，其橫坐標的取值范圍為．