在平面直角坐標系xoy中,已知四邊形OABC是平行四邊形,A(4,0),C(1,
3
),點M是OA的中點,點P在線段BC上運動(包括端點),如圖
(Ⅰ)求∠ABC的大;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)λ,使
OA
-
OP
)⊥
CM
?若存在,求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)由于四邊形OABC是平行四邊形,由cos∠ABC=cos∠AOC=
OA
OC
|
OA
|•|
OC
|
=
1
2
,求得∠ABC的值.
(II)設P(t,
3
)
,其中1≤t≤5,由
OA
-
OP
)⊥
CM
,可得
OA
-
OP
)•
CM
=0
,求得λ的解析式,再根據(jù)1≤t≤5,求得λ的值,從而得出結論.
解答:解:(Ⅰ)由題意,得
OA
=(4,0),
OC
=(1,
3
)
,因為四邊形OABC是平行四邊形,
所以,cos∠ABC=cos∠AOC=
OA
OC
|
OA
|•|
OC
|
=
1
2
,于是,∠ABC=
π
3
.…(6分)
(II)設P(t,
3
)
,其中1≤t≤5,
于是
OP
=(t,
3
),λ
OA
-
OP
=(4λ-t,-
3
),
CM
=(1,-
3
)
.…(9分)
OA
-
OP
)⊥
CM
,則
OA
-
OP
)•
CM
=0

4λ-t+3=0?λ=
t-3
4
.…(12分)
又1≤t≤5,所以λ=
t-3
4
∈[-
1
2
1
2
]
,故存在實數(shù)λ∈[-
1
2
1
2
]
,
使
OA
-
OP
)⊥
CM
.…(14分)
點評:本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用,用兩個向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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在平面直角坐標系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足PF=4,求點P的坐標.

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如圖,在平面直角坐標系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點.若點A的橫坐標是
3
5
,點B的縱坐標是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設直線AC與BD的交點為P,求動點P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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