Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：
（1）異面直線PC與AD所成角的大��；
（2）四棱錐P-ABCD的體積與側面積．

Answer 1

分析 （1）BC與PC所成的角∠PCB等于AD與PC所成的角，且BC⊥PB，即可求出異面直線PC與AD所成角的大��；
（2）利用體積、側面積公式求出四棱錐P-ABCD的體積與側面積．

解答 解：（1）由已知，有BC∥AD，AD⊥面PAB，
故BC與PC所成的角∠PCB等于AD與PC所成的角，
且BC⊥PB．…（3分）
因BC=1，易知$PB=2\sqrt{2}$，故$tan∠PCB=\frac{PC}{BC}=2\sqrt{2}$．
故異面直線BC與PC所成角的大小為$arctan2\sqrt{2}$．…（7分）
$\begin{array}{l}（2）{V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{梯形ABCD}}•AP\\ \;=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}（AD+BC）•AB•AP=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}（2+1）•2•2=2．…（10分）\end{array}$
求得：$PD=2\sqrt{2}\;，CD=\sqrt{5}，PC=3$，
故由余弦定理，得$cos∠PCD=\frac{{C{D^2}+P{C^2}-P{D^2}}}{2CD•PC}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
從而${S_{△PCD}}=\frac{1}{2}CD•PC•sin∠PCD=\frac{1}{2}•3•\sqrt{5}•\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=3$．…（12分）
又${S_{△PAB}}={S_{△PAD}}=2，{S_{△PBC}}=\sqrt{2}$，
因此${S_{四棱錐P-ABCD側面積}}={S_{△PAB}}+{S_{△PAD}}+{S_{△PBC}}+{S_{△PCD}}=7+\sqrt{2}$．…（14分）

點評 本題考查空間角，考查四棱錐P-ABCD的體積與側面積，正確轉化是關鍵．