Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*），若數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)λ的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m對于n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由{a_n+1+λa_n}為等比數(shù)列，可化

an+1+λan

an+λan-1

為（1+λ）•

an+ 6 1+λ an-1

an+λan-1

，應(yīng)為常數(shù)，從而可得關(guān)于λ的方程，解出可得λ；
（Ⅱ）按（Ⅰ）所求λ值分情況討論，根據(jù){a_n+1+λa_n}成等比數(shù)列可分別得到一遞推式，兩式相減可求得a_n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得b_n，令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，則|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m對于n∈N^*恒成立，等價(jià)于S_n的最大值小于m，利用錯位相減法可求得S_n，從而可得其最大值；

解答：解（Ⅰ）∵{a_n+1+λa_n}為等比數(shù)列，
∴

an+1+λan

an+λan-1

=

an+6an-1+λan

an+λan-1

=

(1+λ)an+6an-1

an+λan-1

=（1+λ）•

an+ 6 1+λ an-1

an+λan-1

應(yīng)為常數(shù)，
∴λ=

6

1+λ

，解得λ=2或λ=-3；
（Ⅱ）當(dāng)λ=2時(shí)，可得{a_n+1+2a_n}為首項(xiàng)是a₂+2a₁=15，公比為3的等比數(shù)列，
則a_n+1+2a_n=15•3^n-1  ①，
當(dāng)λ=-3時(shí)，{a_n+1-3a_n}為首項(xiàng)是a₂-3a₁=-10，公比為-2的等比數(shù)列，
∴a_n+1-3a_n=-10（-2）^n-1  ②，
①-②得，an=3n-(-2)n；
（Ⅲ）由3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n）=n[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n（-2）ⁿ，
∴b_n=n（-

2

3

）ⁿ，
令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=

2

3

+2（

2

3

）²+3（

2

3

）³+…+n（

2

3

）ⁿ，

2

3

S_n=（

2

3

）²+2（

2

3

）³+…+（n-1）（

2

3

）ⁿ+n（

2

3

）ⁿ⁺¹，
兩式相減，得

1

3

S_n=

2

3

+（

2

3

）²+（

2

3

）³+…+（

2

3

）ⁿ-n（

2

3

）ⁿ⁺¹=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n（

2

3

）ⁿ⁺¹=2[1-（

2

3

）ⁿ]-n（

2

3

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=6[1-（

2

3

）ⁿ]-3n（

2

3

）ⁿ⁺¹＜6，
要使得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m對于n∈N^*恒成立，只須m≥6，
∴m的取值范圍是[6，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性、數(shù)列求和及由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．