已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過(guò)F點(diǎn)，設(shè)直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于M點(diǎn)，
MF
=λ
FB
（λ＞0）
（1）若λ=1，求直線l斜率
（2）若點(diǎn)A、B在x軸上的射影分別為A1，B1且|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差數(shù)列求λ的值
（3）設(shè)已知拋物線為C1：y2=x，將其繞頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°變成C1′．圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點(diǎn)N．已知點(diǎn)P是拋物線C1′上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C′1于T，S，兩點(diǎn)，若過(guò)N，P兩點(diǎn)的直線l垂直于TS，求直線l的方程．
分析：（1）先確定p=λ（x2-
p
2
），進(jìn)而求出B的坐標(biāo)，即可求直線l的斜率；
（2）直線方程代入拋物線方程，求得A1、B1的橫坐標(biāo)，根據(jù)|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差數(shù)列，可得2|
OF
|=|
B1F
|+2|
A1F
|，從而可得x2-2x1=
p
2
，由此可求λ的值；
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C2的切線方程，可得PS，PT的斜率是方程的兩根，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論．
解答：解：依題意設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的斜率為k，k＞0，M的縱坐標(biāo)為y0，
則F（
p
2
，0）準(zhǔn)線方程為x=-
p
2

直線l的方程為y=k（x-
p
2
），M（-
p
2
，y0），y2＞0
∵
MF
=λ
FB
，∴（p，-y0）=λ（x2-
p
2
，y0），故p=λ（x2-
p
2
）
（1）若λ=1，由p=λ（x2-
p
2
），y22=2px2，y2＞0，得x2=
3p
2
，y2=
3
p，
∴B（
3p
2
，
3
p）
∴直線l的斜率k=
3
p
3p
2
-
p
2
=
3
；
（2）直線l的方程代入y2=2px，消去y，可得k2x2-（k2p+2p）x+
k2p2
4
=0，則x1x2=
p2
4

∵x2=
p
λ
+
p
2
，∴x1=
p2
4x2
=
λp
2λ+4

∵|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差數(shù)列
∴2|
OF
|=|
B1F
|+2|
A1F
|，
∴(x2-
p
2
)+2(
p
2
-x1)=p
∴x2-2x1=
p
2

將x2=
p
λ
+
p
2
和x1=
λp
2λ+4
代入上式得
1
λ
=
λ
λ+2
，∴λ=2；
（3）設(shè)P（x0，x02），S（x1，x12），T（x2，x22），由題意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2．
設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C2的切線方程為y-x02=k（x-x0），即y=kx-kx0+x02．①
則
|kx0+4-x02|
1+k2
=1，
即（x02-1）k2+2x0（4-x02）k+（x02-4）2-1=0．
設(shè)PS，PT的斜率為k1，k2（k1≠k2），則k1，k2是上述方程的兩根，所以
k1+k2=
2x0(x02-4)
x02-1
，k1k2=
(x02-4)2-1
x02-1
．
將①代入y=x2，得x2-kx+kx0-x02=0，
由于x0是此方程的根，故x1=k1-x0，x2=k2-x0，
所以kST=
x12-x22
x1-x2
=x1+x2=k1+k2-2x0=
2x0(x02-4)
x02-1
-2x0，kNP=
x02-4
x0
．
由MP⊥AB，得kNP•kST=[
2x0(x02-4)
x02-1
-2x0]•
x02-4
x0
=-1，解得x02=
23
5
，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（±
23
5
，
23
5
），所以直線l的方程為y=±
3
115
115
x+4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
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