已知函數(shù)f(x)=log(x+)(a>1,x≥1).?

(1)求它的反函數(shù)f -1 (x),并指出f -1 (x)的定義域;

(2)當(dāng)1<a<2時,證明f -1 (n)< (n∈N*).

(1)解析:∵ (a>1,x≥1),?

∴有x+ =ay,兩邊平方化簡可得=ay-x,即有x2-1=a2y-2ayx+x2,

也即.?

f -1 (x)=(ax+a-x).?

又∵a>1,x≥1,?

∴可知x+≥1.?

y=logax,當(dāng)a>1時,在x∈(0,+∞)上是增函數(shù)可知≥0.?

y=f(x)的反函數(shù)為f -1(x)=  (ax+a -x),其定義域為x∈[0,+∞).

(2)證明:用比較法.?

f -1(n)-  (2n+2-n)=  (an+a -n)-  (2n+2-n)

=,?

又由于1<a<2,?

an-2n<0,(2a)n-1>0,an>0.?

則可知<0,?

f -1(n)-<0.?

f-1(n)<  (2n+2-n)(n∈N*).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個極值點x1,x2,若過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時,若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數(shù).

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