Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）+mx²-4x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若b＞a＞0，求證：f（b）-f（a）＞$\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）g（x）=f（x）+mx²-4x=lnx+mx²-4x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）欲證f（b）-f（a）＞$\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，即證$lnb-lna=ln\frac{a}＞\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{2（\frac{a}）-2}{1+（\frac{a}）^{2}}$
令$t=\frac{a}＞1$，即證lnt＞$\frac{2t-2}{1+{t}^{2}}$，即證（1+t²）lnt＞2t-2當(dāng)t＞1時(shí)恒成立
構(gòu)造函數(shù)F（t）=（1+t²）lnt-2t+2即可．

解答 解：（1）g（x）=f（x）+mx²-4x=lnx+mx²-4x （x＞0）
則g′（x）$\frac{1}{x}+2mx-4$≥0在（0，+∞）上恒成立，即2m≥$\frac{4}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$恒成立
∵$\frac{4}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=-（\frac{1}{x}-2）^{2}+4≤4$∴m≥2．
（2）欲證f（b）-f（a）＞$\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，即證$lnb-lna=ln\frac{a}＞\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{2（\frac{a}）-2}{1+（\frac{a}）^{2}}$
令$t=\frac{a}＞1$，即證lnt＞$\frac{2t-2}{1+{t}^{2}}$，即證（1+t²）lnt＞2t-2當(dāng)t＞1時(shí)恒成立
構(gòu)造函數(shù)F（t）=（1+t²）lnt-2t+2
求導(dǎo)$F′（t）=2tlnt+t+\frac{1}{t}-2$
∵t＞1∴2tlnt＞0，∵$t+\frac{1}{t}-2＞0$，所以F′（t）＞0當(dāng)t＞1時(shí)恒成立
所以F（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增
所以F（t）＞F（1）=0恒成立．
故不等式（1+t²）lnt＞2t-2得證，所以f（b）-f（a）＞$\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了已知單調(diào)性，求參數(shù)取值的基本方法，同時(shí)考查了證明函數(shù)不等式的構(gòu)造新函數(shù)法，屬于難題．