Question

已知向量

m

=(2sinx-cosx，sinx)，

n

=(cosx-sinx，0)，且函數(shù)f(x)=(

m

+2

n

)•

m．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）向左平移

π

4

個單位得到函數(shù)g（x），求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

m

+2

n

的坐標，再根據(jù)函數(shù)f(x)=(

m

+2

n

)•

m

，利用兩個向量數(shù)量積公式和三角函數(shù)的恒等變換求得函數(shù)的解析式為

2

sin（2x-

π

4

），由此求得函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律求得g（x）=

2

sin（2x+

π

4

），令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z可得 x的范圍，即可求得函數(shù)的增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

+2

n

=（cosx，sinx），
∴函數(shù)f(x)=(

m

+2

n

)•

m

=（cosx，sinx）•（2sinx-cosx，sinx）=2sinxcosx-cos²x+sin²x=

2

sin（2x-

π

4

），
函數(shù)f(x)=(

m

+2

n

)•

m

 的最小正周期等于

2π

2

=π．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位得到函數(shù)y=

2

sin[2（x+

π

4

）-

π

4

]=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象，故 g（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z可得  kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，兩個向量數(shù)量積公式，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．