Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且2acosC+c-2b=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）用正弦定理化簡已知等式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡整理得sinC（1-2cosA）=0，再由sinC＞0，解出cosA=

1

2

，可得A=

π

3

；
（II）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入題中數(shù)據(jù)并結(jié)合基本不等式解出b+c∈（1，2]，由此可得△ABC的周長l取值范圍．

解答：解：（I）由正弦定理，得
∵2acosC+c-2b=0，∴2sinAcosC+sinC-2sinB=0，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC
∴代入上式，得sinC-2cosAsinC=0，即sinC（1-2cosA）=0
∵C∈（0，π），得sinC＞0，
∴1-2cosA，得cosA=

1

2

．結(jié)合A為三角形的內(nèi)角，可得A=

π

3

；
（2）∵由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得b²+c²-bc=a²=1
∴（b+c）²=1+3bc
∵bc≤

(b+c)2

4

，
∴（b+c）²≤1+

3

4

（b+c）²，可得（b+c）²≤4，得b+c≤2
∵△ABC中，b+c＞a=1，∴b+c∈（1，2]
由此可得：a+b+c∈（2，3]，即△ABC的周長l取值范圍為（2，3]．

點(diǎn)評：本題給出實際應(yīng)用問題，求三角形的周長的范圍．著重考查了正余弦定理、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角恒等變換公式、基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．