Question

已知函數(shù)f（x）=|1-

1

x

丨（x＞0）
（1）當(dāng)0＜a＜b且f（a）=f（b）時(shí)，①求

1

a

+

1

b

的值；②求

1

a2

+

1

b2

的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用零點(diǎn)分段法，可將函數(shù)的解析式化成分段函數(shù)f（x）=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

的形式，進(jìn)而由反比例型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，可得

1

a

+

1

b

的值及

1

a2

+

1

b2

的取值范圍
（2）由（1）中函數(shù)的單調(diào)性，分a，b∈（0，1），a，b∈（1，+∞），及a∈（0，1），b∈（1，+∞），三種情況分別討論實(shí)數(shù)a，b的存在性，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=|1-

1

x

丨=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

∴函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)
①由0＜a＜b且f（a）=f（b），可得0＜a＜1＜b
則

1

a

-1=1-

1

b

，即求

1

a

+

1

b

=2
②由①得：

1

b

=2-

1

a

∴

1

a2

+

1

b2

=

1

a2

+（2-

1

a

）²=2（

1

a

-1）²+2
∵0＜a＜1，

1

b

=2-

1

a

＞0
∴1＜

1

a

＜2
∴0＜

1

a

-1＜1
∴2＜2（

1

a

-1）²+2＜4
即

1

a2

+

1

b2

∈（2，4）
（2）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b
若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，則0＜a＜b
①若a，b∈（0，1），則

f(a)= 1 a -1=b f(b)= 1 b -1=a

，解得a=b，滿足a＜b
②若a，b∈（1，+∞），則

f(a)= 1 a -1=a f(b)= 1 b -1=b

，此方程組無解
③若a∈（0，1），b∈（1，+∞），則a=f（1）=0∉（0，+∞），
綜上可知：不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．