Question

若實(shí)數(shù)x₁、y₁、x₂、y₂滿足（x₁²+3y₁²-12）²+（x₂-y₂+8）²=0，則（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡已知條件，得到兩個函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，利用平行線之間的距離求解即可．

解答： 解：實(shí)數(shù)x₁，y₁，x₂，y₂滿足（x₁²+3y₁²-12）²+（x₂-y₂+8）²=0，
可得x₁²+3y₁²-12=0，并且x₂-y₂+8=0，（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值轉(zhuǎn)化為：函數(shù)x₁²+3y₁²-12=0圖象上的點(diǎn)與x₂-y₂+8=0圖象上的點(diǎn)的距離的最小值，
與直線x₂-y₂+8=0平行的直線的斜率為1，設(shè)與x₁²+3y₁²-12=0切點(diǎn)坐標(biāo)（a，b），則切線方程為：y=x+a-b，
聯(lián)立方程可得：3（x-a+b）²=12-x²
整理可得：4x²+x（6b-6a）+2a²+3b²-6ab-12=0
故有：△=（6b-6a）²-16×（3a²+3b²-6ab-12）=0
可解得：a-b=-4（a-b=4舍去）
所以與x₂-y₂+8=0平行的直線為：y=x-4，即x-y-4=0
（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為：

|-8+4|

2

=2

2

．
故答案為：2

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．