Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，a₁=2，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=

1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意列出方程，解得公差d，寫出通項公式；
（Ⅱ）利用裂項相消法對數(shù)列求和即得結(jié)論．

解答： 解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d
∵a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列
∴

a

2 3

=a₁a₇，∴(a1+2d)2=a₁（a₁+6d）
又a₁=2，∴d=1或d=0（舍去）
∴a_n=2+（n-1）•1=n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及裂項相消法對數(shù)列求和，注意方程思想在解題中的運用，屬中檔題．