Question

（2008•佛山一模）觀察下列三角形數(shù)表
1-----------------------------第一行
2    2------------------------第二行
3    4    3-------------------第三行
4    7    7   4---------------第四行
5    11  14  11   5-----------第五行
  …
假設(shè)第n行的第二個數(shù)為a_n（n≥2，n∈N^*），
（Ⅰ）依次寫出第六行的所有6個數(shù)字；
（Ⅱ）歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系式并求出a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)a_nb_n=1，求證：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)三角形數(shù)表，兩側(cè)數(shù)為從1開始的自然數(shù)列，中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和的規(guī)律寫出來．
（II）依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”則第二個數(shù)等于上一行第一個數(shù)與第二個數(shù)的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由a_nb_n=1，解得數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：第六行的所有6個數(shù)字分別是6，16，25，25，16，6；--------------（2分）
（Ⅱ）解：依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2-------------------------------（5分）
a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）------------------------（7分）
=2+2+3+…+(n-1)=2+

(n-2)(n+1)

2

，
所以an=

1

2

n2-

1

2

n+1   (n≥2)；-------------------------------------（9分）
（Ⅲ）證明：因?yàn)閍_nb_n=1，所以bn=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2(

1

n-1

-

1

n

)-------------（11分）
b2+b3+b4+…+bn＜2[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=2(1-

1

n

)＜2---（14分）

點(diǎn)評：本題通過三角數(shù)表構(gòu)造了一系列數(shù)列，考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和的方法，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，屬于中檔題．