Question

命題甲：集合M={x|kx²-2kx+1=0}為空集；命題乙：關于x的不等式x²+（k-1）x+4＞0的解集為R．若命題甲、乙中有且只有一個是真命題，則實數k的取值范圍是

（-3，0）∪[1，5）

．

Answer 1

分析：由題意可得命題甲乙對應的k的范圍，分甲真乙假，甲假乙真兩種情形，由集合的運算可得．

解答：解：∵集合M={x|kx²-2kx+1=0}為空集，
當k≠0時，△=（-2k）²-4k＜0，解得0＜k＜4，
當k=0時，方程變?yōu)?=0，無解，滿足題意，
故可得0≤k＜4；
又∵關于x的不等式x²+（k-1）x+4＞0的解集為R，
∴△′=（k-1）²-4×4＜0，解得-3＜k＜5，
當甲命題為真，乙命題為假時，可得
[0，4）∩{（-∞，-3]∪[5，+∞）}=∅，
當甲命題為假，乙命題為真時，可得
{（-∞，0）∪[4，+∞）}∩（-3，5）=（-3，0）∪[1，5），
故答案為：（-3，0）∪[1，5）

點評：本題考查復合命題的真假，涉及二次函數的性質和分類討論的思想，屬基礎題．