Question

已知可行域的外接圓C₁與x軸交于點A₁、A₂，橢圓C₂以線段A₁A₂為長軸，離心率
（1）求圓C₁及橢圓C₂的方程
（2）設橢圓C₂的右焦點為F，點P為圓C₁上異于A₁、A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交直線x=2于點Q，判斷直線PQ與圓C₁的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，可行域是以為頂點的三角形．因為，所以△A₁A₂M為直角三角形，外接圓C₁的方程為x²+y²=2．設橢圓的方程為，由，，能求出橢圓C₂的方程．
（2）設，當x=1時，OP⊥PQ，直線PQ與圓C₁相切．當．當x=0時，OP⊥PQ．當，OP⊥PQ．綜上，當時，故直線PQ始終與圓C₁相切．
解答：解：（1）由題意可知，可行域是以為頂點的三角形（1分）
因為
∴△A₁A₂M為直角三角形
∴外接圓C₁是以原點O為圓心，線段|A₁A₂|=為直徑的圓
故其方程為x²+y²=2（3分）
設橢圓的方程為∵∴
又∴c=1，可得b=1
故橢圓C₂的方程為（5分）
（2）直線PQ始終與圓C₁相切（6分）
設
當x=1時，P（1，1）或P（1，-1），此時Q（2，0）
若k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ
若k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ
即當x=1時，OP⊥PQ，直線PQ與圓C₁相切（8分）
當∴
所以直線OQ的方程為，因此點Q的坐標為（2，（9分）
∵（10分）
∴當x=0時，k_PQ=0，OP⊥PQ
∴當，
∴k_OP•k_PQ=-1OP⊥PQ
綜上，當時，OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓C₁相切（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．