Question

已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）對任意的，恒成立，求的最小值；

（3）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；（2）實數(shù)的最小值為；

（3）實數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）把代入函數(shù)的解析式，直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定義域上的單調(diào)區(qū)間；（2）利用參數(shù)分離法將問題中的不等式等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即，進而求出參數(shù)的取值范圍，從而求出的最小值；（3）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出方程的唯一根，將條件“對于任意給定的

，在總存在兩個不同的，使得”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點，即，且函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上的值域均包含函數(shù)在區(qū)間上的值域”，從而列出相應(yīng)的不等式進行求解參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時，，，

由，，由，，

故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；

（2）即對，恒成立，

令，，則，

再令，，，

在上為減函數(shù)，于是，

從而，，于是在上為增函數(shù)，，

故要恒成立，只要，即的最小值為；

（3），當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

，，，

所以，函數(shù)在上的值域為.

當(dāng)時，不合題意；

當(dāng)時，，，

故，，     ①

此時，當(dāng)變化時，、的變化情況如下：

	單調(diào)減	最小值	單調(diào)增

，，，，

所以，對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的，

使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件

，即 

令，，

，令，得，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以，對任意，有，

即②對任意恒成立，

由③式解得：，    ④

綜合①④可知，當(dāng)時，對任意給定的，

在總存在兩個不同的，使得成立.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.不等式恒成立；3.參數(shù)分離法；4.函數(shù)值域的包含關(guān)系