Question

已知函數(shù)，，．

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵記函數(shù)，當(dāng)時，在上有且只有一個極值點，求實   數(shù)的取值范圍；

⑶記函數(shù)，證明：存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時，為單調(diào)增區(qū)間，

當(dāng)時，為單調(diào)減區(qū)間， 為單調(diào)增區(qū)間．

（2）要證明存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．，要結(jié)合極值點的函數(shù)值來得到。

【解析】

試題分析：（1）因為，

①若，則，在上為增函數(shù)，          2分

②若，令，得，

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

所以為單調(diào)減區(qū)間，為單調(diào)增區(qū)間．

綜上可得，當(dāng)時，為單調(diào)增區(qū)間，

當(dāng)時，為單調(diào)減區(qū)間， 為單調(diào)增區(qū)間．     4分

（2）時，，

，                     5分

在上有且只有一個極值點，即在上有且只有一個根且不為重根，

由得，                      6分

（�。�，，滿足題意；                      7分

（ⅱ）時，，即；               8分

（ⅲ）時，，得，故；

綜上得：在上有且只有一個極值點時，．            9分

注：本題也可分離變量求得．

（3）證明：由（1）可知：

（ⅰ）若，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，

所以直線與 的圖象不可能有兩個切點，不合題意．        10分

（ⅱ）若，在處取得極值．

若，時，由圖象知不可能有兩個切點．          11分

故，設(shè)圖象與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)為（不妨設(shè)），

則直線與的圖象有兩個切點即為直線與和的切點．

，，

設(shè)切點分別為，則，且

，，，

即， ①

， ②

，③

①-②得：，

由③中的代入上式可得：，

即，                        14分

令，則，令，因為，，

故存在，使得，

即存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．        16分

考點：導(dǎo)數(shù)的運用

點評：主要是考查了分類討論思想求解函數(shù)單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運用，屬于難度題。