Question

已知函數f(x)=

px-p

-lnx(p＞0)．
（1）若函數f（x）在定義域內為增函數，求實數p的取值范圍；
（2）當n∈N^*時，證明

n

k=1

2k+1

k

＞2ln（n+1）；
（3）（理） 當n≥2且n∈N₊時，證明：

n

k=2

1

lnk

＞lnn．

Answer 1

分析：（1）要使函數f（x）在定義域內為增函數，只需f′（x）≥0在定義域恒成立，從而可求出p的值；
（2）利用分析法，欲證

n

k=1

2k+1

k

＞2ln（n+1），只需證

2k+1

k

＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*），再分別取k=1，2，3，…，n，并將同向不等式相加可得結論；
（3）先證

1

k-1

＞ln（1+

1

k-1

），從而可得

1

lnk

＞lnk-ln（k-1），再分別取k=2，3，4，…，n，并將同向不等式相加，可得結論．

解答：（1）解：p＞0，函數f（x）的定義域為[1，+∞）．
f′（x）=

p

2 px-p

-

1

x

依題意，f′（x）≥0在x∈（1，+∞）恒成立，
∴p≥

4(x-1)

x2

在x∈（1，+∞）恒成立．
∵

4(x-1)

x2

=4[-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

]≤1，
∴p≥1，∴p的取值范圍為[1，+∞）；
（2）證明：當n∈N^*時，欲證

n

k=1

2k+1

k

＞2ln（n+1），只需證

2k+1

k

＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）．
由（Ⅰ）可知：取p=1，則f（x）≥f（1）（x≥1），
而f（1）=0，∴

x-1

≥lnx（當x=1時，等號成立）．
用（

x+1

x

）2代換x，得

( x+1 x )2-1

＞ln（

x+1

x

）2（x＞0），
即

2x+1

x

＞2[ln（x+1）-lnx]（x＞0），
∴

2k+1

k

＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）．
在上式中分別取k=1，2，3，…，n，并將同向不等式相加，得

n

k=1

2k+1

k

＞2ln（n+1），
∴結論成立；
（3）解：由（2）知，

x-1

≥lnx（當x=1時，等號成立）．
而當x≥2時，x-1≥

x-1

，∴當x≥2時，x-1＞lnx
設g（x）=x-1-lnx，x∈（0，2），則g′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，2）上遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，即x-1≥lnx在x∈（0，2）時恒成立．
故當x∈（0，+∞）時，x-1≥lnx（當且僅當x=1時，等號成立）．…①
用x代換x-1得：x≥ln（1+x）（當且僅當x=0時，等號成立）．…②
當k≥2，k∈N^*時，由①得k-1＞lnk＞0，∴

1

lnk

＞

1

k-1

當k≥2，k∈N^*時，由②得k＞ln（1+k），用

1

k-1

代換k，得

1

k-1

＞ln（1+

1

k-1

）．
∴當k≥2，k∈N^*時，

1

lnk

＞ln（1+

1

k-1

），即

1

lnk

＞lnk-ln（k-1）．
在上式中分別取k=2，3，4，…，n，并將同向不等式相加，得

n

k=2

1

lnk

＞lnn-ln1．
故當n≥2且n∈N^*時，

n

k=2

1

lnk

＞lnn．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，以及數列與不等式的綜合，同時考查了轉化的思想和計算能力，屬于難題．