Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

，g（x）=x²-2bx+4．若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），則實數(shù)b取值范圍是

[

14

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：首先對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的最值問題，根據(jù)題意對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，對g（x）的圖象進(jìn)行討論根據(jù)對稱軸研究g（x）的最值問題，從而進(jìn)行求解．

解答：解：對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．
∵函數(shù)f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

（x＞0）
∴f′（x）=

1

x

-

1

4

+

-3

4x2

=-

(x-1)(x-3)

4x2

，
若f′（x）＞0，則1＜x＜3，f（x）為增函數(shù)；若f′（x）＜0，則x＞3或0＜x＜1，f（x）為減函數(shù)；
f（x）在x∈（0，2）上有極值，
f（x）在x=1處取極小值也是最小值f（x）_min=f（1）=-

1

4

+

3

4

=

1

2

∵g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，對稱軸x=b，x∈[1，2]，
當(dāng)1＜b＜2時，g（x）在x=b處取最小值g（x）_min=g（b）=4-b²，由

1

2

≥4-b²，得b≥

14

2

或b≤-

14

2

，所以2＞b≥

14

2

．
當(dāng)b≤1時，g（x）在[1，2]上是增函數(shù)，在x=1處取最小值g（x）_min=g（1）=1-2b=4=5-2b；由

1

2

≥5-2b，得b≥

9

4

，與b≤1矛盾，此時無解．
當(dāng)b≥2時，g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在x=2處取最小值g（x）_min=g（2）=4-4b+4=8-4b；由

1

2

≥8-4b，得得b≥

15

8

，此時b≥2．
綜上所述，b取值范圍是[

14

2

，2）∪[2，+∞）=[

14

2

，+∞)
故答案為：[

14

2

，+∞)

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，此題還涉及函數(shù)的恒成立問題，注意問題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題上；