Question

下列條件中，△ABC是銳角三角形的是（　�。�

• A、sinA+cosA=

  1

  5

• B、

  AB

  •

  BC

  ＞0
• C、tanA+tanB+tanC＞0
• D、b=3，c=3

  3

  ，B=30°

Answer 1

分析：將各個(gè)選項(xiàng)中的條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，考查三角形是否為銳角三角形．

解答：解：由sinA+cosA=

1

5

，得2sinAcosA=-

24

25

＜0，∴A為鈍角，故選項(xiàng)A不滿足條件．
由

AB

•

BC

＞0，得

BA

•

BC

＜0，∴cos＜

BA

，

BC

＞＜0．∴B為鈍角，故選項(xiàng)B不滿足條件．
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）•（1-tanAtanB）+tanC＞0．
即tanC[-（1-tanAtanB）+1]＞0，即tanAtanBtanC＞0，
故有A、B、C都為銳角，故選項(xiàng)C滿足條件．
由

b

sinB

=

c

sinC

，得sinC=

3

2

，∴C=

π

3

或

2π

3

，故選項(xiàng)D不滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：銳角的三角函數(shù)都是正數(shù)；鈍角的余弦和正切是負(fù)數(shù)，只有正弦是正數(shù)；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．