Question

已知函數f（x）=（x²+bx+c）e^x在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）求函數y=f（x）（x∈R）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求b，c的值，根據所給的切線方程，只須求出切線斜率即可，故先利用導數求出在x=-0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率進而得切線方程，最后與所給的方程比較即得b，c的值．
（2）先確定（1）求得的函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；
（3）欲求函數y=f（x）（x∈R）的值域，先研究函數在區(qū)間上的最值問題，可先求出函數的極值，結合函數的單調性，最后確定出最大值與最小值即可．
解答：解：（1）f′（x）=[x²+（b+2）x+b+c]•e^x
∵f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．
∴
（2）由（1）知：f（x）=（x²-3x+1）•e^x，
f′（x）=（x²-x-2）•e^x=（x-2）（x+1）•e^x

∴f（x）的單調遞增區(qū)間是：（-∞，-1）和（2，+∞），f（x）的單調遞減區(qū)間是：（-1，2）．
（3）由（2）知：當x=-1時，f（x）取極大值
當x=2時，f（x）取極小值f（2）=-e²
且當x→+∞時，f（x）→+∞；又當x＜0時，f（x）＞0，
所以f（x）的值域為[-e²，+∞）．（13）
點評：本小題主要考查利用導數研究函數的極值、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、函數的值域等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．