如圖所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD,且PA=1.
(I)問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍時(shí),BC邊上能存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥QD?
(II)當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q使得PQ⊥OD時(shí),求二面角Q-PD-A的余弦值大。

【答案】分析:(I)連接AQ,由已知中PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,我們易得PQ⊥QD?AQ⊥QD,由此我們易得以AD為半徑的圓與BC應(yīng)該有交點(diǎn),再由AB=1,BC=a,即可得到滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)取AD的中點(diǎn)M,過(guò)M作MN⊥PD,垂足為N,連接QM,QN,根據(jù)三垂線定理,我們易判斷出∠QNM為二面角Q-PD-A的平面角,解三角形QMN,即可得到二面角Q-PD-A的余弦值大小.
解答:解:(I)連接AQ,∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥QD,若PQ⊥QD成立,
即AQ⊥QD成立
∴點(diǎn)Q應(yīng)為BC與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn)

故滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥2;
(II)由已知可得,當(dāng)a=2時(shí),BC上有且僅有一點(diǎn)滿足題意,
此時(shí)Q點(diǎn)為BC的中點(diǎn),
取AD的中點(diǎn)M,過(guò)M作MN⊥PD,垂足為N,連接QM,QN
由于QN⊥平面PAD,
∴∠QNM為二面角Q-PD-A的平面角
∵M(jìn)D=1,PD=,且△DNM∽△DAP
∴MN=
從而在直角△QNM中,QN=
∴cos∠QNM==
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì),二面角大小的求法,(I)的關(guān)鍵是將AQ⊥QD轉(zhuǎn)化為BC與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn);(II)的關(guān)鍵是求出二面角Q-PD-A的平面角.
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如圖所示精英家教網(wǎng),已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD,且PA=1.
(I)問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍時(shí),BC邊上能存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥QD?
(II)當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q使得PQ⊥OD時(shí),求二面角Q-PD-A的余弦值大。

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AD
=4
3
,設(shè)
AB
=a,
BC
=b,
BD
=c
,試求|
a
+
b
+
c
|.

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如圖所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.

(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫(xiě)出點(diǎn)P、B、D的坐標(biāo);

(2)問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍時(shí),BC邊上能存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥QD?

(3)當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q使得PQ⊥QD時(shí),求二面角Q-PD-A的大。

 

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