已知函數(shù):f(x)=
x+1-a
a-x
(a∈R且x≠a)

(1)證明:f(x)+2+f(2a-x)=0對定義域內(nèi)的所有x都成立;
(2)當f(x)的定義域為[a+
1
2
,a+1]
時,求證:f(x)的值域為[-3,-2];
(3)(理)設函數(shù)g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,求g(x)的最小值.
(4)(文)設函數(shù)g(x)=x2+(x-a)f(x),其中x≤a-1,求g(x)的最小值.
分析:(1)利用函數(shù)函數(shù):f(x)=
x+1-a
a-x
(a∈R且x≠a)
.直接代入化簡即可;
(2)化簡函數(shù)的f(x)=
-(a-x)+1
a-x
=-1+
1
a-x
,根據(jù)定義域為[a+
1
2
,a+1]

可確定f(x)的值域為[-3,-2];
(3)利用分類討論,將絕對值符號化去,再利用二次函數(shù)配方法求解,應注意函數(shù)定義域與函數(shù)對稱軸之間的關系.
解答:解:(1)f(x)+2+f(2a-x)=
x+1-a
a-x
+2+
2a-x+1-a
a-2a+x

=
x+1-a
a-x
+2+
a-x+1
x-a
=
x+1-a+2a-2x-a+x-1
a-x
=0

∴結論成立
(2)f(x)=
-(a-x)+1
a-x
=-1+
1
a-x

a+
1
2
≤x≤a+1時
,-a-1≤-x≤-a-
1
2
-1≤a-x≤-
1
2
,-2≤
1
a-x
≤-1

-3≤-1+
1
a-x
≤-2
        即f(x)值域為[-3,-2].
(3)(理)g(x)=x2+|x+1-a|(x≠a)
①當x≥a-1且x≠a時,g(x)=x2+x+1-a=(x+
1
2
)2+
3
4
-a

如果a-1≥-
1
2
a≥
1
2
時,則函數(shù)在[a-1,a)和(a,+∞)上單調(diào)遞增,∴g(x)min=g(a-1)=(a-1)2
如果a-1<-
1
2
即當a<
1
2
且a≠-
1
2
時,g(x)min=g(-
1
2
)=
3
4
-a
.當a=-
1
2
時,g(x)最小值不存在.
②當x≤a-1時g(x)=x2-x-1+a=(x-
1
2
)2+a-
5
4
,
如果a-1>
1
2
即a>
3
2
時g(x)min=g(
1
2
)=a-
5
4

如果a-1≤
1
2
即a≤
3
2
時,g(x)在(-∞,a-1)上為減函數(shù)g(x)min=g(a-1)=(a-1)2

a>
3
2
時,(a-1)2-(a-
5
4
)=(a-
3
2
)2>0
.當a<
1
2
時,(a-1)2-(
3
4
-a)=(a-
1
2
)2>0

綜合得:當a<
1
2
且a≠-
1
2
時,g(x)最小值是
3
4
-a
;當
1
2
≤a≤
3
2
時,g(x)最小值是(a-1)2;當a>
3
2
時,g(x)最小值為a-
5
4
;當a=-
1
2
時,g(x)最小值不存在.
(文)同②
點評:本題以函數(shù)為載體,考查函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)的值域,同時考查學生分析解決問題的能力,有一定的難度.
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已知函數(shù)y=f(x+
1
2
)
為奇函數(shù),設g(x)=f(x)+1,則g(
1
2011
)+g(
2
2011
)+g(
3
2011
)+g(
4
2011
)+…+g(
2010
2011
)
=( 。
A、1005B、2010
C、2011D、4020

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)
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ex
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1
2
)-
1
2
是定義域為實數(shù)集R的奇函數(shù),則f(
1
2011
)+f(
2
2011
)+f(
3
2011
)+…+f(
2010
2011
)
的值為
1005
1005

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