Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*有a_n+S_n=n．
（1）設b_n=a_n-1，求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）設c₁=a₁且c_n=a_n-a_n-1（n≥2），求{c_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）由a₁+S₁=1及a₁=S₁得a₁=．
又由a_n+S_n=n及a_n+1+S_n+1=n+1，
得a_n+1-a_n+a_n+1=1，∴2a_n+1=a_n+1．
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，即2b_n+1=b_n．
∴數列{b_n}是以b₁=a₁-1=-為首項，為公比的等比數列．
（2）：由（1）知b_n=-•（）^n-1=-（）ⁿ，
∴a_n=-（）ⁿ+1．
∴c_n=-（）ⁿ+1-[-（）^n-1+1]
=（）^n-1-（）ⁿ=（）^n-1（1-）=（）ⁿ（n≥2）．
又c₁=a₁=也適合上式，
∴c_n=（）ⁿ．
分析：（1）令n=1，可得a₁=，由a_n+S_n=n及a_n+1+S_n+1=n+1，兩式相減可得2（a_n+1-1）=a_n-1，即2b_n+1=b_n．由等比數列的通項公式可得；
（2）可知a_n=-（）ⁿ+1，代入化簡可得c_n的表達式．
點評：本題考查等比關系的確定，涉及數列的遞推公式，屬中檔題．