Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為棱A₁B₁的中點(diǎn)，則異面直線AM與B₁C所成的角的大小為arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AM與B₁C所成的角．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為2，
則A（2，0，0），M（2，1，2），B₁（2，2，2），C（0，2，0），
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，2），
設(shè)異面直線AM與B₁C所成的角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{5}×\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴θ=$arccos\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴異面直線AM與B₁C所成的角為arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$arccos\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．