Question

5．若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{1-x}}，x≤1\\ ln（{x-1}），x＞1\end{array}\right.$，則使得f（x）≥2成立的x的取值范圍是（-∞，1-ln2]∪[1+e²，+∞）．

Answer 1

分析 討論當(dāng)x＞1時(shí)，ln（x-1）≥2；當(dāng)x≤1時(shí)，e^1-x≥2，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{1-x}}，x≤1\\ ln（{x-1}），x＞1\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞1時(shí)，ln（x-1）≥2，可得x-1≥e²，即為x≥1+e²；
當(dāng)x≤1時(shí)，e^1-x≥2，即有1-x≥ln2，解得x≤1-ln2．
綜上可得x≥1+e²或x≤1-ln2．
故答案為：（-∞，1-ln2]∪[1+e²，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用：解不等式，考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)算能力，屬于中檔題．