分析 根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征,求得球O被平面ACD1所截得的圓的半徑r,再通過(guò)利用球的性質(zhì)求出O到平面ACD1的距離d,進(jìn)而求出圓錐的高,再由勾股定理求出圓錐的母線,最后利用圓錐的表面積求解即可.
解答 解:如圖,O為球心,也是正方體的中心,
設(shè)球O被平面ACD1所截得的圓的半徑為r,AC中點(diǎn)為M,
則r=$\frac{1}{3}$D1M=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
球的半徑R=$\frac{1}{2}$,
則O到平面ACD1的距離d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$,
則圓錐的高h(yuǎn)=$\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
故圓錐的母線長(zhǎng)l=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
故圓錐的表面積為:πr(r+h)=$\frac{\sqrt{6}}{6}$($\frac{\sqrt{6}}{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}$)π=$\frac{2π}{3}$,
故答案為:$\frac{2π}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體和它的內(nèi)接球的結(jié)構(gòu)特征、圓錐的體積,關(guān)鍵是想象出截面圖的形狀,考查了空間想象能力.
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