已知函數(shù)f(x)=-
2a
x
+lnx-2
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線與直線y=x+2垂直,求a的值.
(2)若對(duì)任意x∈(0,+∞)都有f(x)>2a成立,試求a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合直線垂直的關(guān)系即可求出a的值.
(2)根據(jù)不等式恒成立,將不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最值,即可求出的取值范圍.
解答: 解(1)∵f(x)=-
2a
x
+lnx-2,
∴f′(x)=
2a
x2
+
1
x
,∴f′(1)=2a+1,
又∵曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線與直線y=x+2垂直
∴2a+1=-1   
∴a=-1.
(2)f(x)=-
2a
x
+lnx-2的定義域?yàn)椋?,+∞),
∵對(duì)任意x∈(0,+∞)都有f(x)>2a恒成立
∴f(x)min>2a,
f′(x)=
2a
x2
+
1
x
=
x+2a
x2
,
當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)≥0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
此時(shí)x→0時(shí),f(x)→-∞不合題意,
當(dāng)a<0時(shí)f(x)在(0,-2a)單調(diào)遞減,在(-2a,+∞)單調(diào)遞增
∴f(x)min=f(-2a)=ln(-2a)-1>2a,
令g(x)=lnx+x-1則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增且g(1)=0
∴-2a>1,
綜上a<-
1
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值,綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
,其左右焦點(diǎn)為F1(-1,0)及F2(1,0),過點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn),且|AF1|、|F1F2|、|AF2|構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求橢圓C的方程;
(2)記△GF1D的面積為S1,△OED(O為原點(diǎn))的面積為S2.試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

甲乙兩位同學(xué)參加學(xué)校安排的3次體能測(cè)試,規(guī)定按順序測(cè)試,一旦測(cè)試合格就不必參加以后的測(cè)試,否則3次測(cè)試都要參加.甲同學(xué)3次測(cè)試每次合格的概率組成一個(gè)公差為
1
8
的等差數(shù)列,他第一次測(cè)試合格的概率不超過
1
2
,且他直到第二次測(cè)試才合格的概率為
9
32
,乙同學(xué)3次測(cè)試每次測(cè)試合格的概率均為
2
3
,每位同學(xué)參加的每次測(cè)試是否合格相互獨(dú)立.
(Ⅰ)求甲同學(xué)第一次參加測(cè)試就合格的概率P;
(Ⅱ)設(shè)甲同學(xué)參加測(cè)試的次數(shù)為m,乙同學(xué)參加測(cè)試的次數(shù)為n,求ξ=m+n的分布列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=x2-4x+3,x∈[1,4],則f(x)的最小值為( 。
A、-1B、0C、3D、-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

M=
x2+y2
+
x2+(y-1)2
+
(x-1)2+y2
+
(x-1)2+(y-1)2
,當(dāng)x,y變化時(shí)M的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0.
(1)求AC邊所在直線方程;
(2)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)求直線BC的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b為實(shí)數(shù),a≠0,x∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一個(gè)根,求f(x)的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某班的全體學(xué)生參加某項(xiàng)技能測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若不低于80分的人數(shù)是8,則該班的學(xué)生人數(shù)是(  )
A、45B、50C、55D、60

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某項(xiàng)競(jìng)賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段進(jìn)行,每個(gè)階段選手要回答一個(gè)問題.規(guī)定正確回答問題者進(jìn)入下一階段競(jìng)賽,否則即遭淘汰.已知某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是
3
4
,
1
2
,
1
4
,且各階段通過與否相互獨(dú)立.
(1)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率;
(2)設(shè)該選手在競(jìng)賽中回答問題的個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列與方差.

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