在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若
AB
=m
AM
，
AC
=n
AN
，則mn的最大值為
1
1
．
分析：延長AO至A'使AO=A'O，延長A'C交MN 于M'，利用O是BC的中點(diǎn)，得到三角形全等和相似，利用相似比和線段的關(guān)系列出等式，再把條件代入求出m+n的值，然后利用基本不等式可求出mn的最大值．
解答：解：延長AO至A'使AO=A'O，延長A'C交MN 于M'，如圖：
則△OBM≌△OCM'，∴BM=CM'，
∵△NAM∽△NCM'，
∴
NC
AN
=
CM′
AM
，即
AN-AC
AN
=
AB-AM
AM
，
∵
AB
=m
AM
，
AC
=n
AN
，
∴|
AB|
=m
|AM|
，|
AC|
=n
|AN|
，
代入上式得，n-1=1-m，則m+n=2
∴m+n=2≥2
mn
即mn≤1
故mn的最大值為1
故答案為：1
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若
AB
=m
AM
，
AC
=n
AN
，則m+n的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，點(diǎn)O是其內(nèi)一點(diǎn)，若
OA
+
OB
+
OC
=
0
，且
OA
•
OB
=
OB
•
OC
=
OC
•
OA
，則△ABC的形狀是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC與不同的兩點(diǎn)M，N，若
AB
=m
AM
，
AC
=n
AN
，m＞0，n＞0，則
1
m
+
4
n
的最小值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若
AB
=m
AM
，
AC
=n
AN
，求m+n的值．

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