設(shè)函數(shù)f(x)=(x-2)2ex
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)是否存在[a,b](a<b),使得f(x)在該區(qū)間上的值域?yàn)閇e4a,e4b]?若存在,求出a,b的值;若不存在,說明理由.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)由f'(x)=x(x-2)ex,當(dāng)f′(x)>0時(shí),解得:x>2,x<0,當(dāng)f(x)<0時(shí),解得:0<x<2,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值.
(Ⅱ)分別討論a=0,a>0的情況,列出方程組,找到單調(diào)區(qū)間,從而確定出a,b的值.
解答: 解:(Ⅰ)∵f'(x)=x(x-2)ex,
當(dāng)f′(x)>0時(shí),解得:x>2,x<0,
當(dāng)f(x)<0時(shí),解得:0<x<2,
∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上單調(diào)遞增,(0,2)上單調(diào)遞減.
∴y極大=f(0)=4,y極小=f(2)=0;
(Ⅱ)∵f(x)≥0,∴a≥0;
若a=0則b≥2,故有(b-2)2eb=e4b
構(gòu)造g(b)=
(b-2)2
b
eb(b>2)
,
g′(b)=[
b2-4
b2
+
(b-2)2
b
]eb>0

b=4為唯一解.
若a>0,則2∉[a,b]即b>a>2或0<a<b<2
①b>a>2時(shí),
f(a)=(a-2)2ea=e4a
f(b)=(b-2)2eb=e4b
前面已證至多一解,
不存在滿足條件的a,b;
②0<a<b<2時(shí),
(a-2)2ea=e4b
(b-2)2eb=e4a
,相除得a(a-2)2ea=b(b-2)2eb
記 h(x)=x(x-2)2ex(0<x<2),
則 h'(x)=(x3-x2-4x+4)ex=(x2-4)(x-1)ex,
∴h(x)在(0,1)遞增,(1,2)遞減,
由h(a)=h(b),
∴0<a<1,1<b<2
此時(shí)(a-2)2ea<4e<e4b矛盾.
綜上所述,滿足條件的a,b為a=0,b=4.
點(diǎn)評:本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的最值問題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,滲透了分類討論思想,是一道綜合題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題,正確的是(  )
A、a,b,c∈R,且a>b,則ac>bc
B、a,b∈R,且ab≠0,則
a
b
+
b
a
≥2
C、復(fù)數(shù)Z=i-1對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
D、a,b∈R,且|a|>|b|,則a2>b2
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a>0,b>0,則“a2+b2≤1”是“a+b≤ab+1”的( �。�
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既非充分又非必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐A-BOC中,∠OAB=30°,AO⊥平面BOC,AB=4,∠BOC=90°,BO=CO,D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:CO⊥平面AOB;
(2)求異面直線AO與CD所成角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

從側(cè)面都是正三角形的正四棱錐的8條棱中隨機(jī)選兩條,記ξ為這兩條棱所成角的大小.
(1)求概率P(ξ=
π
2
);
(2)求ξ的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中.求證:平面ACD1⊥平面BB1D1D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若四位數(shù)n=
.
abcd
的各位數(shù)碼a,b,c,d中,任三個(gè)數(shù)碼皆可構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長,則稱n為四位三角形數(shù),定義(a,b,c,d)為n的數(shù)碼組,其中a,b,c,d∈M={1,2,…,9}若 數(shù)碼組為(a,a,b,b)型,(a>b),試求所有四位三角形數(shù)的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E為AB的中點(diǎn),以直線CE為折線將點(diǎn)B折起至點(diǎn)P,并保持∠PEB為銳角,連接PA,PC,PD,取PD的中點(diǎn)F.
(Ⅰ)求證:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)當(dāng)∠PEB=60°時(shí),
①求證:平面PCE⊥平面AECD;
②求PD與平面AECD所成角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,AB是底面半徑為1的圓柱的一條母線,O為下底面中心,BC是下底面的一條切線.
(1)求證:OB⊥AC;
(2)若AC與圓柱下底面所成的角為30°,OA=2.求三棱錐A-BOC的體積.

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同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹