在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1,n∈N*
(I)證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列;
(II)設bn=
an2n
,求數(shù)列{bn}的前n項和
Sn
分析:(I)變形原條件可得an+1-(n+1)=2(an-n),易確定等比關系;(II)由(I)可得{an}的通項公式,進而可得{bn}的通項公式,由錯位相減法易得答案.
解答:解:(I)由題設an+1=2an-n+1,可得an+1-(n+1)=2(an-n),
又a1-1=1,所以數(shù)列{an-n}首項為1,公比為2的等比數(shù)列;
(II)由(I)可知an-n=2n-1,于是數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1+n,
所以數(shù)列bn=
an
2n
=
1
2
+n(
1
2
)n

所以Sn=
n
2
+[1
1
2
+2
1
22
+3•
1
23
+…+(n-1)
1
2n-1
+n
1
2n
],
設Tn=1
1
2
+2
1
22
+3•
1
23
+…+(n-1)
1
2n-1
+n
1
2n
   ①
所以
1
2
Tn=1
1
22
+2
1
23
+3•
1
24
+…+(n-1)
1
2n
+n
1
2n+1
  ②
①-②可得
1
2
Tn=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-n
1
2n+1

=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-n
1
2n+1
=1-
1
2n
-n
1
2n+1
=1-
n+2
2n+1
,
故Tn=2-
n+2
2n
,故Sn=
n
2
+2-
n+2
2n
=
n+4
2
-
n+2
2n
點評:本題考查等比關系的確定和錯位相減法求和,屬中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,
a
 
1
=1
,an=
1
2
an-1+1
(n≥2),則數(shù)列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a 1=
1
3
,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn,證明:
1
3
Tn
3
4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a=
12
,前n項和Sn=n2an,求an+1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個結(jié)論,然后再解答)

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在數(shù)列{an}中,a,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設數(shù)列{}的前n項和為Tn,證明:

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