Question

已知點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），又P（x，y）是曲線(

x

5

)4+(

y

3

)4=1上的點(diǎn)，則（　�。�

A．|PF₁|+|PF₂|=10

B．|PF₁|+|PF₂|＜10

C．|PF₁|+|PF₂|≤10

D．|PF₁|+|PF₂|≥10

Answer 1

分析：法一：根據(jù)方程(

x

5

)4+(

y

3

)4=1，可以聯(lián)想橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，根據(jù)橢圓的定義可知，

x2

25

+

y2

9

=1是以點(diǎn)F₁（-4.0），F(xiàn)₂（4，0）為焦點(diǎn)的橢圓，在橢圓上任意取點(diǎn)，可以證明點(diǎn)在曲線(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的內(nèi)部或在曲線上，即橢圓上的點(diǎn)在封閉曲線的內(nèi)部或曲線上，故可得結(jié)論．
法二：任取點(diǎn)P（x，y）在曲線(

x

5

)4+(

y

3

)4=1上，可令

x2

25

=cosA≥0，

y2

9

=sinA≥0，A∈[0，

π

2

]，易證得sinA+cosA≥1，即

x2

25

+

y2

9

≥1由此知點(diǎn)P（x，y）在

x2

25

+

y2

9

=1上可其外部，再由橢圓的定義易選出正確選項(xiàng)

解答：解：根據(jù)方程(

x

5

)4+(

y

3

)4=1，可以聯(lián)想橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，
在橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上取點(diǎn)Q（5cosα，3sinα），即x=5cosα，y=3sinα
則(

x

5

)4+(

y

3

)4=cos 4α +sin4α=2(sin2α-

1

2

) 2+

1

2

∵0≤sin²α≤1，
∴

1

2

≤(

x2

25

)2+(

y2

9

)2≤1
即點(diǎn)Q在曲線(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的內(nèi)部或在曲線上
所以橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上的點(diǎn)在封閉曲線(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的內(nèi)部或曲線上
由題意，

x2

25

+

y2

9

=1是以點(diǎn)F₁（-4.0），F(xiàn)₂（4，0）為焦點(diǎn)的橢圓
∴當(dāng)P點(diǎn)恰好取在頂點(diǎn)上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在橢圓上，故有|PF₁|+|PF₂|=10
點(diǎn)P不在曲線(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的頂點(diǎn)上時(shí)，必有點(diǎn)P在橢圓的外部，故|PF₁|+|PF₂|＞10
綜上所述，|PF₁|+|PF₂|≥10
故選D．
法二：任取點(diǎn)P（x，y）在曲線(

x

5

)4+(

y

3

)4=1上，可令

x2

25

=cosA≥0，

y2

9

=sinA≥0，A∈[0，

π

2

]
則有sinA+cosA≥1，即

x2

25

+

y2

9

≥1由此知點(diǎn)P（x，y）在

x2

25

+

y2

9

=1上可其外部，故有|PF₁|+|PF₂|≥10
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題以曲線為載體，考查類(lèi)比思想，考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．