C
分析:此同學(xué)的解法過程沒有問題,只是沒有意識(shí)到b=c時(shí),亦有a
2=b(b+c)成立,此說明此解法化角為邊有不完善之處,現(xiàn)提供另一解法,從角的三角函數(shù)的角度進(jìn)行證明,先化邊為角,再利用三角恒等變換公式進(jìn)行變形證明出結(jié)論,選出正確選項(xiàng)
解答:此同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的,這是因?yàn)楫?dāng)b=c時(shí),亦有a
2=b(b+c),這是一個(gè)特殊情況,這說明此解法有不完善之處,正確證明過程如下:
先證a
2=b(b+c)是A=2B的充分條件
∵a
2=b(b+c)
∴4R
2sinA
2=4R
2sinB(sinB+sinC)
∴sinA
2=sinB(sinB+sinC)
∴(sinA-sinB)(sinA+sinB)=sinB×sinC
又sinA-sinB=2sin
cos
sinA+sinB=2sin
cos
∴(sinA-sinB)(sinA+sinB)
=2sin
cos
×2sin
cos
=sin(A-B)sin(A+B)
又sin(A-B)sin(A+B)=sinB×sinC=sinB×sin(A+B)
∴sin(A-B)=sinB
∴A-B=B
∴A=2B
再證a
2=b(b+c)是A=2B的必要條件,
由上證每步都可逆,故A=2B時(shí),亦有a
2=b(b+c),即A=2B是a
2=b(b+c)的充分條件
綜上得,該同學(xué)證明錯(cuò)誤,應(yīng)為充要條件
故選C
點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)證明題,充要條件的證明要分充分性與必要性分別證明,解題的關(guān)鍵是正確理解充要條件證明的規(guī)律,理解充要條件,分清楚那個(gè)證明方向是充分性那個(gè)證明方向是必要性,由此同學(xué)的證明方法可以得出這么一個(gè)結(jié)論即證明問題時(shí)選取的角度不同,證明的結(jié)論可能是不同的,對(duì)一個(gè)題找到最合適的證明方法是正確求解的重點(diǎn).