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【題目】設函數.

（1）當時，求函數的最大值；

（2）令其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當，，方程有唯一實數解，求正數的值

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）對函數進行求導，判斷其在單調遞增，在單調遞減，從而得到最大值為；

（2）求出函數，，則其導數小于等于在恒成立，進而求出的取值范圍；

（3）方程有唯一實數解，設，利用導數研究函數的圖象特征，設為方程的唯一解，得到，把方程組轉化成，再利用導數研究該方程的根，最后根據根的唯一性，得到與的關系，再求出正數的值.

（1）依題意，知的定義域為，

當時，，

令，解得.

當時，，此時單調遞增；

當時，，此時單調遞減.

所以的極大值為，此即為最大值.

（2），，則有，在上恒成立，所以，.

當時，取得最大值，所以.

（3）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，

設，則.

令，，

因為，，所以（舍去），，

當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

當時，，取最小值.

則，即，

所以，

因為，所以

設函數，

因為當時，是增函數，所以至多有一解，

又，所以方程的解為，即，解得.

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