Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點(diǎn)E在CC₁上，且CE=λCC₁．
（1）λ為何值時(shí)，A₁C⊥平面BED；
（2）若A₁C⊥平面BED，求二面角A₁-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）法一：由于λ不確定，從而E點(diǎn)是個(gè)動(dòng)點(diǎn)，而要A₁C⊥平面BED，所以不妨考慮A₁C⊥平面BED滿足的條件，從而發(fā)現(xiàn)必須有A₁C⊥BE，由三垂線定理，得到B₁C⊥BE，由三角形相似容易得到λ的值，
法二：用向量法，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸的正半軸，射線DC為y軸的正半軸，射線DD₁為z軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz．則：D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），由于CE=λCC₁，而CC₁的坐標(biāo)可求，A₁C坐標(biāo)可求，若A₁C⊥平面BED，則A₁C⊥DE，由向量內(nèi)積定義可求λ的值；
（2）法一：在解決問題（1）的基礎(chǔ)上，可以作出二面角的平面角，通過解三角形解決．
法二：用向量法，由（1）知平面BDE的一個(gè)法向量為

A1C

=（-2，2，-4），故只需求平面DA₁B的一個(gè)法向量，設(shè)為n=（x，y，z），則n⊥

DB

，n⊥

DA1

，通過內(nèi)積為0求之，再計(jì)算向量n與向量A₁C的夾角即可．

解答：解：法一：（1）連接B₁C交BE于點(diǎn)F，連接AC交BD于點(diǎn)G，
∴AC⊥BD，由垂直關(guān)系得，A₁C⊥BD，
若A₁C⊥平面BED，則A₁C⊥BE，
由垂直關(guān)系可得B₁C⊥BE，
∴△BCE∽△B₁BC，∴

CE

BC

=

BC

BB1

=

1

2

，
∴CE=1，∴λ=

CE

CC1

=

1

4

．
（2）連接A₁G，連接EG交A₁C于H，則A₁G⊥BD．
∵A₁C⊥平面BED，
∴∠A₁GE是二面角A₁-BD-E的平面角．
∵A₁G=3

2

，EG=

3

，A₁E=

17

，
∴cos∠A₁GE=

18+3-17

2 3 ×3 2

=

6

9

，

法二：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸的正半軸，射線DC為y軸的正半軸，射線DD₁為z軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz．
依題設(shè)，D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），
∵CE=λCC₁=4λ，∴E（0，2，4λ），
∴

DB

=（2，2，0），

DA1

=（2，0，4），

A1C

=（-2，2，-4），

DE

=（0，2，4λ），
∵

DB

•

A1C

=2×（-2）+2×2+0×（-4）=0，
∴

DB

⊥

A1C

，∴DB⊥A₁C．
若A₁C⊥平面BED，則A₁C⊥DE，∴

A1C

⊥

DE

，
∴

A1C

•

DE

=（-2）×0+2×2+（-4）×4λ=4-16λ=0，
∴λ=

1

4

．
（2）設(shè)向量n=（x，y，z）是平面DA₁B的一個(gè)法向量，
則n⊥

DB

，n⊥

DA1

，∴2x+2y=0，2x+4z=0，
令z=1，則x=-2，y=2，∴n=（-2，2，1）
由（1）知平面BDE的一個(gè)法向量為

A1C

=（-2，2，-4）
∴cos＜n，

A1C

＞=

m? A1C

|m|?| A1C |

=

6

9

．
即二面角A₁-BD-E的余弦值為

6

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線垂直于平面、二面角的求法，在長方體、正方體等較為規(guī)則的幾何體中，因?yàn)槿菀捉�立空間坐標(biāo)系，可以考慮向量法解決，也可以用幾何法推導(dǎo)，但是一定要注意問題中有連續(xù)的幾問時(shí)，前一問對(duì)后面問題的影響，從而使后面的問題的解決變得簡(jiǎn)捷．