如圖所示，已知圓C：(x＋1)2＋y2＝8，定點A(1，0)，M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CN上，且滿足，，點N的軌跡為曲線E．

(Ⅰ)求曲線E的方程；

(Ⅱ)若點B1(x1，y1)，B2(－1，y2)，B3(x3，y3)在曲線E上，且成等差數(shù)列，求x1＋x3的值；

(Ⅲ)若過定點F(0，2)的直線交曲線E于不同的兩點G、H(點G在點F、H之間)，且滿足，求λ的取值范圍．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)由題意知，圓C的圓心為(－1，0)，半徑．

　　∵．

　　∴NP為線段AM的垂直平分線，∴．

　　又∵，∴．

　　∴動點N的軌跡是以點C(－1，0)，A(1，0)為焦點且長軸長為的橢圓．

　　∴．

　　∴曲線E的方程為．

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲線E的軌跡為橢圓，A為右焦點，其右準線方程為l1：x＝2．

　　設(shè)B1到直線l1的距離為d．

　　根據(jù)橢圓的定義知，

　　得．

　　同理可得：，．

　　∵成等差數(shù)列，

　　∴，代入得．

　　(Ⅲ)當直線GH斜率存在時，設(shè)直線GH方程為y＝kx＋2，

　　代入橢圓，得．

　　由△＞0得．

　　設(shè)，則，①

　　．②

　　又∵，

　　即．∴．③

　　由①②③聯(lián)立得，

　　即，整理得．

　　∵，∴，

　　∴，解得且λ≠1．

　　又∵0＜λ＜1，∴．

　　當直線GH斜率不存在時，直線GH方程為x＝0，此時，即．

　　∴，即所求λ的取值范圍是


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點A（1，0），M為圓C上一動點，點P在線段AM上，點N在線段CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點S（0，
1
3
）且斜率為k的動直線l交曲線E于A、B兩點，在y軸上是否存在定點G，滿足
GP
=
GA
+
GB
使四邊形NAPB為矩形？若存在，求出G的坐標和四邊形NAPB面積的最大值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足AM=2AP，NP⊥AM，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足FG=
1
2
FH，求直線l的方程；
（3）設(shè)曲線E的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交曲線于Q，S兩點，過F2的直線交曲線于R，T兩點，且QS⊥RT，垂足為W；
（�。┰O(shè)W（x0，y0），證明：
x
2
0
2
+
y
2
0
＜1；
（ⅱ）求四邊形QRST的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ） 求曲線E的方程；
（Ⅱ） 若點B1（x1，y1），B2（-1，y2），B3（x3，y3）在曲線E上，線段B1B3的垂直平分線為直線l，且|B1A|，|B2A|，|B3A|成等差數(shù)列，求x1+x3的值，并證明直線l過定點；
（Ⅲ）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點N的軌跡方程是（　�。�
A、
x2
2
+y2=1
B、
x2
2
-y2=1
C、x2+
y2
2
=1
D、x2-
y2
2
=1

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