Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點(diǎn)E是正方形BCC₁B₁的中心，點(diǎn)F．G分別是棱C₁D₁，AA₁的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)E₁，G₁分別是點(diǎn)E，G在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影．
（1）證明：直線FG₁⊥平面FEE₁；
（2）求異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值．
（3）求四面體FGAE的體積．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA．DC．DD₁所在直線，分別作x軸，Y軸，Z軸，分別出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，及直線FG₁的方向向量和平面FEE₁的法向量，然后判斷兩個(gè)向量是否共線，即可得到直線FG₁⊥平面FEE₁是否成立；
（2）分別求出異面直線E₁G₁與EA的方向向量，然后代入向量夾角公式，即可得到異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值．
（3）根據(jù)棱錐的幾何特征及已知條件，我們可以得到V_E-AGF=V_E-A1GF=V_M-A1GF=V_M-A1GF，求出四面體的底面積和高，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA．DC．DD₁所在直線分別作x軸，Y軸，Z軸，
得E₁（0，2，1），G₁（0，0，1），
又G（2，0，1），F(xiàn)（0，1，2），E（1，2，1），
則

FG1

=（0，-1，-1），

FE

=（1，1，-1），

FE1

=（0，1，-1），┉┉（2分）
∴

FG1

•

FE

=0+（-1）+1=0，

FG1

•

FE1

=0+（-1）+1=0，即FG₁⊥FE，F(xiàn)G₁⊥FE₁，
又FE₁∩FE=F，∴直線FG₁⊥平面FEE₁（4分）
（2）

E1G1

=（0，-2，0），

EA

=（1，-2，-1），┉┉（5分）
則cos＜

E1G1

，

EA

＞=

E1G1 • EA

| E1G1 || EA |

=

2

6

，┉┉（7分）
設(shè)異面直線E₁G₁與EA所成角為θ，則sinθ=

1- 2 3

=

3

3

．┉┉（8分）
（3）∵A．G．A₁，F(xiàn)共面，且G是AA₁的中點(diǎn)，
∴V_E-AGF=V_E-A1GF．┉┉（10分）
取B₁C₁．的中點(diǎn)為M，所以EM∥A₁G，∴EM∥平面A₁GF，
∴V_E-AGF=V_E-A1GF=V_M-A1GF=V_G-A1MF=

1

3

×1×

3

2

=

1

2

┉┉（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，異面直線及其所成的角，建立空間坐標(biāo)系，將線面關(guān)系的判定，及線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．