Question

橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．點(diǎn)P（1，）、A、B在橢圓E上，且（m∈R）；
（Ⅰ）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；
（Ⅱ）求證：當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)，原點(diǎn)O是△PAB的重心．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由=及，解得a²=4，b²=3，由此能求出橢圓E的方程及直線AB的斜率．
（Ⅱ）設(shè)AB的方程為 y=，代入橢圓方程得：x²-tx+t²-3=0，△=3（4-t²），|AB|=，點(diǎn)P到直線AB的距離為d=，故S_△PAB==（-2＜t＜2）． 由此能求出△PAB的重心坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）由=及，
解得a²=4，b²=3，…（1分）
橢圓方程為； …（2分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），
即…（3分）
又，，
兩式相減得；…（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)AB的方程為 y=，
代入橢圓方程得：x²-tx+t²-3=0，…（6分）
△=3（4-t²），|AB|=，
點(diǎn)P到直線AB的距離為d=，
S_△PAB==（-2＜t＜2）． …（8分）
令f（t）=3（2-t）³（2+t），
則f’（t）=-12（2-t）²（t+1），
由f’（t）=0得t=-1或2（舍），
當(dāng)-2＜t＜-1時(shí)，f’（t）＞0，
當(dāng)-1＜t＜2時(shí)f’（t）＜0，
所以當(dāng)t=-1時(shí)，f（t）有最大值81，
即△PAB的面積的最大值是；                 …（10分）
根據(jù)韋達(dá)定理得 x₁+x₂=t=-1，
而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，
因此△PAB的重心坐標(biāo)為（0，0）．        …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，直線斜率的計(jì)算和求證：當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)，原點(diǎn)O是△PAB的重心．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．