Question

點M到兩條互相垂直的直線的距離相等,求點M的軌跡方程.

Answer 1

答案：
解析：

解:取已知兩條互相垂直的直線為坐標軸,建立直角坐標系,如圖所示. 設點M的坐標為(x,y),點M的軌跡就是到坐標軸的距離相等的點的集合P=｛M｜｜MR｜＝｜MQ｜｝,其中Q、R分別是點M到x軸、y軸的垂線的垂足. 因為點M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標和橫坐標的絕對值,所以條件｜MR｜＝｜MQ｜可寫成｜x｜＝｜y｜,即x±y=0. ① 下面證明①是所求軌跡的方程. (1)由求方程的過程,可知曲線上的點的坐標都是方程①的解; (2)設點M1的坐標(x1,y1)是方程①的解,那么x1±y1＝0, 即｜x1｜＝｜y1｜,而｜x1｜、｜y1｜正是點M1到縱軸、橫軸的距離,因此點M1到這兩條直線的距離相等,點M1是曲線上的點. 由(1)(2),可知方程①是所求軌跡的方程,圖形如上圖所示.