Question

已知f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（1+x）=f（1-x），若f（1）=2，則f（2010）+f（2011）=（　�。�

A．-2

B．2

C．0

D．4021

Answer 1

分析：由函數(shù)的奇偶性和f（1+x）=f（1-x），推導(dǎo)出函數(shù)的周期，再用周期性把f（2010）+f（2011）轉(zhuǎn)化，根據(jù)f（0）=0和f（1）=2即可求值

解答：解：∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x）
∴f（1-x）=-f（x-1）
又∵f（1+x）=f（1-x）
∴f（1+x）=-f（x-1）
∴f（x+2）=-f（x）且f（x+4）=-f（x+2）
∴f（x+4）=f（x）
∴原函數(shù)的周期為T=4
∴f（2010）=f（2）
f（2011）=f（-1）
∵f（1+x）=f（1-x），且f（0）=0
令x=1得f（2）=f（0）=0
又∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（1）=2
∴f（-1）=-f（1）=-2
∴f（2010）+f（2011）=0+（-2）=-2
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，要注意已知條件和函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用．屬簡(jiǎn)單題